备考日常素记专题篇：直和分解定理
Inspiron MathSparkle 2019-08-29
这篇文章是我很久以前写的，这是本科高等代数最重要也是最困难的定理之一，它揭示了标准性理论的核心，进而开启了用以简化复线性变换的Jordan标准型理论，我们这次重点介绍它的证明和一般数域下的定理形式.
先给出所谓根子空间分解定理，这直接构成了Jordan标准型理论的基石
并且我们提出一系列常见的推论，每一个推论都可以当做一个大题，无论是刚学完Jordan理论和还是正在备考中，都可以拿来做做，并且难度不低.
但是在证明根子空间分解定理之前，我们想更进一步地给出一般数域上的结论，而这个结论是几乎所有书中都会提到的
接下来给出它的证明，这个证明要求必须顺畅的写出来
显然，根据素因子分解定理完全可以得出根子空间分解，接下来需要证明推论并给出一些有趣的结论，这基本上可以解决大部分空间分解和维数证明的难题，先从证明推论1开始
推论1的证明只需要重复上述定理的过程即可
事实上，这可以解释为什么Jordan块的阶数与初等因子高度相关，因为考虑最小多项式时，所有重数最高的一次因式均出现在最小多项式之中，该重数直接对应上式特征值的重数，进而对应Jordan块的阶数.
推论2属于不好证明但看上去显然的命题，其他教材上一般会采用Jordan分解的证明方法，但是我们想避免这种做法，从不变子空间的性质出发去解决这个问题.在证明推论2之前，需要说明最小因子分解定理：
这个定理可见许多教材，有一些技巧性，但是并不难想.
现在我们提出推论2
推论2的证明很长，因为我们是从一般数域考虑的，并没有用其他的工具
这个证明也是我本人比较喜欢的证明，它从不变子空间本身的性质上来考虑，而不借助Jordan标准型的简单形式，从形式上讲，这是一个优美又富有思辨性的初等证明.最后我们提出推论3
细心的读者可以看到，这就是可对角化的重要的充要条件：几何重数与代数重数相等，其他教材基本上也是用一些秩不等式来解决这个问题，但是从什么角度看都不是本质的，这个证明简短但却是本质的.
推论3有时会翻译成其他的形式，这就是关于线性变换可对角化的内容了，这一部分内容我早就在之前的文章中给出了，有兴趣的读者可以看到这篇文章线性变换可对角化的充要条件的互证与推论
现在我们推广推论2，将其推广到一般数域上的分解，这就是深刻的准素分解定理，该定理可以总结这篇文章中所有定理与推论，并且这个定理的证明与叙述都十分富有美感，形式更为整齐，从直观上很容易可以推得每一步小结论，证明方法多样，但是我们尽量避免使用抽象代数的语言，用线性代数的方法即可得到证明，也正因如此该定理成为许多高校的研究生入学考试题目.
我们用之前证明根子空间分解定理的方法来证明，尽管显得重复，但是因为其重要性所以必须要重新证明，我们先叙述这个定理.
定理的前半部分是简单的，只需要再次重复素因子分解定理即可，后半部分几乎是照搬推论2，但是这个形式可能会让读者们产生歧义.
这就是这个证明，这个证明在武汉大学的考题中出现过，所以这个定理证明虽然繁杂，但是仍是重要的.
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最后编辑时间为: 2020-04-30T22:45:55+08:00